數學家小傳(歐幾里得)

游文仁

歐幾里得﹝Euclid﹞

約公元前330─約公元前275，古希臘

人們除了知道歐幾里得是亞歷山大里亞大學的數學教授和大名鼎鼎的、歷時長久的亞歷山大里亞數學學派的奠基人外，對他的生平所知甚少，僅估計他很可能在雅典的柏拉圖學園受過數學訓練。

公元前300年左右，在托勒密王﹝PtolemyI.公元前364─前283，托勒密王國的創建者，公元前323─前285在位﹞的邀請下，來到亞歷山大，長期在那裏工作。他是一位溫良敦厚的教育家，對有志數學之士，總是循循善誘。但反對不止刻苦鑽研、投機取巧的作風，也1反對狹隘實用觀點。

據普羅克洛斯﹝約410─485﹞記載，歐幾里得曾給托勒密王講授幾何學。這位國王曾問歐幾里得說，除了《幾何原本》之外，還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾里得就用『幾何無王者之道！』﹝Thereis no royal road to geometry﹞的話回答，意思是：『在幾何裏，沒有專為國王鋪設的路。』這話後來推廣為『求知無坦途』，成為傳誦千古的學習箴言。

斯托貝烏斯﹝約500﹞記述了另一則故事，說一個學生才開始學第一個命題，就問歐幾里得學了幾何學之後將得到些什麼。歐幾里得說：『給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。』

幾里得的《幾何原本》﹝Elements﹞，以下簡稱《原本》，是一部劃時代的著作，就其大部份內容來說，是對於公元前七世紀以來，希臘幾何積聚起來的豐富成果作出高度成功的編纂和系統的整理，其主要功績在於對命題的巧妙選擇，和把它們排列進由少數初始假定出發，演繹地推導出的合乎邏輯的序列中。換言之，《原本》偉大的歷史意義在於它是用公理方法建立起演繹體系的最早典範。

《原本》的內容：

第一卷很自然地是從必要的初步的定義、公設和公理開始；

第二卷討論面積的變換和畢氏學派的幾何式代數；

第三卷包括中學幾何課本中許多關於圓、弦、割線、切線及有關角的量度的定理；

第四卷討論用直尺和圓規作正三角形、正四、五、六和十五邊形，以及在給定圓內﹝外﹞作這些內接﹝外切﹞正多邊形；

第五卷是對歐多克索斯比例理論的精彩闡述；

第六卷把歐多克索斯的比例理論應用於平面幾何；

第七、八、九卷講的是初等數論；

第十卷討論無理數；

第十一、十二、十三卷講立體幾何──關於空間中的直線和平面的定義、定理，以及關於平行六面體的定理，可在第十一卷找到；窮竭法在第十二卷論述體積時起重要作用；在第十三卷研究了五種正多面體。

除了《幾何原本》之外，他還有不少著作，可惜大部份已失傳。《已知數》是除《原本》之外唯一保存下來的他的希臘文純粹幾何著作，體例和《原本》前六卷相近，包括九十四個命題，指出若圖形中某些元素已知，則另外一些元素也可以確定。《圖形的分割》現存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部份或成比例的部份。《光學》是早期幾何光學著作之一，研究透視問題，敘述光的入射角等於反射角，認為視覺是眼睛發出光線到達物體的結果。還有一些著作未能確定是否屬於歐幾里得，而且已經散失。